martes, 3 de marzo de 2009

TRANSFORMACION DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PLANAS

GRUPO IVCIV-319- SECCION: 06

No.

Nombres

Matrícula

Líder de Grupo

37

Reyes T, Andrés

CB-3907

38

Richarson Mejía, Cesar

98-6909

39

Rodríguez Herrera, Fátima

CA-2477

40

Rojas M, José

BH-6954

41

Rosario C, Alonzo

CF-5872

42

Sánchez P, Randy

CB-2447

43

Santana Herrera, Cesar

BE-7860

44

Santana Jerez, José

AA-3650

45

Sepúlveda De Los Santos, Ana

CF-9356

46

Solano De La Cruz, Alexander

AB-5972

47

Taveras Hernández, Vladimir

BB-7068

LIDER DE GRUPO IV

48

Valdez Adames, Andy

BH-8414

49

Veras S, Danilo

CA-9958

50

Vizcaíno Benzant, Josefa

CA-3090

Vladimir Taveras Hernández Líder del Grupo

BB-7068

TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO

Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.

Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo ð.

Mecánica de materiales

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente σx' σy' ðx'y' que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que:

Mecánica de materiales

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área `da'. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal `da cos ð' y un área lateral `da sen ð'

Suma de fuerzas en la dirección x’:

σx' da = σx da cos ð cos ð + σy da sen ð sen ð + ðxy da cos ð sen ð + ðxy sen ð cos ð

σx' = σx sen2ð + σy cos2ð + 2 ðxy cos ð sen ð

σx' = (σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)

Suma de fuerzas en la dirección y’:

ðx'y' da = σy da cos ð sen ð - ðxy da sen ð sen ð + ðxy cos ð cos ð - σx da sen ð cos ð

ðx'y' = σy cos ð sen ð - ðxy sen2ð + ðxy cos2ð- σx sen ð cos ð

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (σx - σy )/2 (sen 2ð)

Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.

ESFUERZOS PRINCIPALES

Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.

El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð :

dσx' /dð = 0 = - ( σx - σy ) (sen 2ð) + 2 ðxy (cos 2ð)

Tan 2ð = 2 ðxy / (σx - σy )

La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen: ð y ð + 90

Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo (σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ1 y σ2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.

En definitiva:

σ1, σ2 = (σx + σy) / 2 + / - Mecánica de materiales

El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð.

dtx'y' / dð = 0 = -2 ðxy (sen 2ð) - ( σx - σy ) (cos 2ð)

Tan 2ð = - (σx - σy ) / 2 ðxy

Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva:

ð1 y ð2 = + / - Mecánica de materiales

ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS

El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - (σx - σy) / 2 ðxy

sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares.

En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surge de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo.

El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen 2ð)

un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte.

A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación

Tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy

en la

σx' = (σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)

muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son

σ* = (σx + σy )/2

por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σx + σy.

Si σx y σy de la ecuación ð1 y ð2 = + / - Mecánica de materiales
son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica en

ðmax = (σx - σy )/2

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

CASO BIDIMENSIONAL

En dos dimensiones el círculo de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

\begin{cases} \mbox{medida 1} & (\sigma_x, \tau) \\ \mbox{medida 2} & (\sigma_y, -\tau) \end{cases}

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal \left( \sigma \right)y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial \left( \tau \right)para cada uno de los planos anteriores. Los valores del círculo quedan representados de la siguiente manera:

  • Centro del círculo de Mohr:

 C:= (\sigma\ _\mbox{med},0) = \left(\frac {\sigma\ _x + \sigma\ _y} {2}, 0\right)

  • Radio del círculo de Mohr:

r:= \sqrt{ \left ( \frac { \sigma\ _x - \sigma\ _y } { 2 } \right ) ^2 + \tau\ ^2_{xy} }

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

\sigma_\mbox{max} = \sigma_\mbox{med} + r \qquad \sigma_\mbox{min} = \sigma_\mbox{med} - r

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

\mathbf{T}\vert_{x,y} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau \\ \tau & \sigma_y \end{bmatrix}

CASO TRIDIMENCIONAL

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

\mathbf{T}\vert_{x,y,z} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy}& \sigma_y  & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre un único círculo. Cada uno de los 3 círculos que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de círculo de Mohr.

CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOR DE INERCIA

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica del círculo de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, el círculo de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio del círculo de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

  • Centro del círculo:

 C:= (I _{med},0) = \left (\frac {I_x + I_y} {2}, 0 \right)

  • Radio del círculo:

 r:= \sqrt{ \left( \frac {I _x - I _y}{2} \right)^2 + I ^2_{xy}}

TRANSFORMACION DE ESFUERZO PLANO

Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.

Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo g.

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente Sx’ Sy’ tx’y’ que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área ‘da’. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal ‘da cos a’ y un área lateral ‘da sen a

Suma de fuerzas en la dirección x’:

Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.

Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuación de circunferencia:

Se tiene que:

σx' = ( σx + σy )/2 + (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)

ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (( σx - σy )/2 ) (sen 2ð)

La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma :

σx' - ( σx + σy )/2 = (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)

Elevando al cuadrado se tiene:

(σx' - (σx + σy)/2)2 = (σx - σy)2/4 (cos 2ð)2 + (σx - σy) (cos 2ð) ðxy (sen 2ð) + ðxy2 (sen 2ð)2

Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene:

ðx'y'2 = ðxy2 (cos 2ð)2 - ðxy (cos 2ð) (σx - σy) (sen 2ð) + (σx - σy)2/4 (sen 2ð)2

Sumando ambas expresiones:

(σx' - ( σx + σy )/2)2 + ðx'y'2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2

Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces:

ðxy2 + ((σx - σy)2/2)2 = b2

(σx + σy )/2 = a

Rescribiendo queda:

(σx' - a)2 + ðx'y'2 = b2

Si los ejes son:

x = σx'

y = ðx'y'

Tenemos:

(x - a)2 + y2 = b2

Que representa a una circunferencia con centro en x = a; y = 0 con un radio

r = b. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características:

Centro en: x = (σx + σy)/2; y = 0

Radio de : r2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2

La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema :

Mecánica de materiales

Mecánica de materiales

Torsión

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1-Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal.

2-Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

Diagrama momentos torsores

Al aplicar las ecuaciones de la estática, en el empotramiento se producirá un momento torsor igual y de sentido contrario a T.

Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo, para que este trozo de eje este en equilibrio, en la sección 1-1 debe existir un momento torsor igual y de sentido contrario. Por tanto en cualquier sección de este eje existe un momento torsor T.

El diagrama de momentos torsores será:

Ángulo girado por un eje

Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las siguientes hipótesis:

  • a) Hipótesis de secciones planas.
  • b) Los diámetros se conservan así como la distancia entre ellos.
  • c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rígidos.

Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las que esta sometido.

Vamos a aislar el trozo dx de eje.

Cálculo de las tensiones a las que está sometido el elemento abcd

El lado cd desliza hacia la derecha respecto al lado ab; por tanto existe una t.

Este elemento trabaja a tensión cortante pura. El valor de t será:

r = G . y = G . e . D/2

El círculo de Morh de este elemento es el círculo de la tensión cortante pura.

Las tensiones principales de este elemento serán:

Las direcciones principales del elemento estarán a 45º.

σ1 = τ y σ2 = -τ

Si en vez de considerar al elemento la superficial abcd, hubiera considerado otro elemento a la distancia r del centro, la t a la que estaría sometido este elemento será:

Cálculo de tmáx y del ángulo girado por el eje en función del momento torsor

Supongamos que la figura representa la sección del eje y el momento torsor T que actúa

La tensión t en el punto B vale:

Si tomamos un diferencial de are dA alrededor del punto B las t de ese dA dan una resultante dF.

Este F da un diferencial de momento torsor.

El momento torsor de la sección será:

Formula que permite calcular el ángulo girado por el eje por unidad de longitud, en función del momento torsor.

El ángulo total girado por el eje será:

Módulo resistente a la torsión

Hemos visto que

Esta expresión se puede poner en la forma:

Para la sección circular:

Diferencias y equivalencias entre torsión y flexión

Casos hiperestáticos en torsión

1º CASO:

Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los dos extremos sometidos a los momentos torsores de la figura.

Supongamos que hemos calculado T1 y T2. Ahora vamos a calcular el giro y la tmax en C.

El giro de C será lo que gire la sección C respecto del empotramiento derecho o izquierdo ya que los empotramientos no giran.

Trazando por C una vertical, y como los momentos torsores son mas fáciles a la izquierda que a ala derecha en el diagrama de momentos torsores calculamos el giro de C respecto del empotramiento izquierdo.

2ºCASO

Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los 2 extremos sometido a los momentos torsores de la figura.

Flexión acompañada con torsión

El efecto que produce la carga P es equivalente a un par y a una fuerza actuando en O

Los puntos más peligrosos de la sección de empotramiento son el a y el b.

Los diagramas se representan así:

Estudio del punto a.


Estudio del punto b.

Por estar el punto b en la LN:

El punto a suele ser mas peligroso que el b, ya que tmax del punto a es superior a la del punto b.

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADA

Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. El análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia: recipientes cilíndricos y esféricos.

Mecánica de materiales

Considerando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido a presión Se van a determinar los esfuerzos ejercidos sobre un pequeño elemento de pared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la simetría axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.

Mecánica de materiales

Los esfuerzos


1 y
2 mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo
1 se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera. El esfuerzo
2 es el esfuerzo longitudinal.

Para determinar los esfuerzos de costilla se retira una porción del recipiente y su contenido limitado por el plano xy y por dos planos paralelos al plano yz con una distancia


X de separación entre ellos. Se aclara que p es la presión manométrica del fluido.

Mecánica de materiales

La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de


y del área transversal 2t
x. Con la ecuación de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de costilla:

Mecánica de materiales

Mecánica de materiales

Con el propósito de determinar el esfuerzo longitudinal


2, haremos un corte perpendicular al eje x y se considerará el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la izquierda de la sección. Tomando en cuenta las fórmulas del área y longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluiría que:
2 = pr / 2t

El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. Luego se dibuja el Círculo de Mohr y se llega a que:


max(en el plano)= ½
2= pr / 4t

Este esfuerzo corresponde a los puntos D y E y se ejerce sobre un elemento obtenido mediante la rotación de 45° del elemento original de dicha figura, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente. EL esfuerzo cortante máximo en la pared del recipiente es mayor. Es igual al radio del círculo de diámetro OA y corresponde a una rotación de 45° alrededor de un eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo.

Mecánica de materiales

Considerando ahora un recipiente esférico, de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido bajo presión manométrica p. Haciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el valor del esfuerzo.

Mecánica de materiales

Así concluye que, para un recipiente


1 =
2 = pr / 2t

Mecánica de materiales

Ya que los esfuerzos principales


1 y
2 son iguales, el círculo de Mohr para la transformación de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo máximo en el plano es cero. Podemos concluir


max= ½
1 = pr / 4t

Mecánica de materiales

TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA

En este tema se ha de analizar las transformaciones de la deformación cuando los ejes coordenados giran. Este análisis se limitará a estados de deformación plana, es decir, a situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de estos planos. Si se escoge el eje z (ver figura I) perpendicular a los planos en los cuales la deformación tiene lugar, tenemos Ez = 'Yzx = 'Yzy = 0, las únicas componentes de deformación que restan son Ex, Ey y 'Yxy. Tal situación ocurre en una placa sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, rígidos y lisos (ver figura I). También se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetría, los elementos situados en un plano transversal no pueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso real de una barra larga sometida a cargas transversales uniformemente distribuidas (ver figura II), existe un estado de esfuerzo plano en cualquier sección transversal que no este localizada demasiado cerca de uno de los extremos de la barra.

Mecánica de materiales
Mecánica de materiales

Figura I y II

Mecánica de materiales
Mecánica de materiales

Figura III

Supóngase que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q (z = 'Yzx = 'Yz = 0), definido por las Componentes de deformación Ez, Ey y 'Yxy asociadas Con los ejes x y y. Esto significa que un elemento cuadrado de centro Q, con lados de longitud "s respectivamente paralelos a los ejes x y y, se transforma en un paralelogramo con lados de longitud "s (1 +Ex) y "s (1 +Ey), formando ángulos de "/2 -'Yxy y f + 'Yxy entre si (vea figura II)).Como resultado de las deformaciones de los otros elementos localizados en el plano xy, el elemento considerado también puede experimentar un movimiento de cuerpo rígido, pero tal movimiento es insignificante en lo referente a la determinación de las deformaciones en el punto Q y no se tendrá en cuenta en este análisis.

El propósito es determinar en términos de Ex,Ey, 'Yxy y 0 las Componentes de deformación Ex,Ey. y 'Yx'y' asociadas con el marco de referencia x' y ' obtenido mediante la rotación de los ejes x y y u n ángulo


. Como se muestra en la figura IV, estas nuevas componentes de la deformación definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con lados respectivamente paralelos a los ejes x' y y'.

FIGURAS COMPLEMENTARIAS

Mecánica de materiales

Figuras: IV, Va, Vb, VI.(resp)

Primero se derivará una expresión para la deformación normal E (


) a lo largo de una línea AB que forma un ángulo arbitrario
con el eje x. Para hacerlo considere el triángulo rectángulo ABC con AB como hipotenusa (vea figura Va) y el triángulo oblicuo A'B'C', en el cual se transforma el triángulo ABC (vea la figura Vb), se tiene

(A'b')^2= (A'C') ^2 + (C'B') ^2 -(A'C')(C'B') cos("/2 + Yxy)

("s) ^2 {1+ E (


)}= ("x) ^2(1+Ex) ^2 + ("y) ^2(1 Ey) ^2

-2("x) (1+Ex) ( "y)(1+Ey) cos ("/2 + Yxy) (a)

pero de la figura Va,

"x=( "s) cos(


) "y=( "s) sen(
) (b)

y, como Yxy es muy pequeño

Cos ( /2 + Yxy)= -senYxy" -Yxy (c)

Sustituyendo de las ecuaciones (b) y (c) en la ecuación (a),

se escribe

E(


)= Ex cos^2
+ Ey sen^2
+ Yxy sen
cos
(d)

La ecuación (d) permite hallar la deformación normal E (


) en cualquier dirección AB, en función de las componentes de deformación Ex, Ey, 'Yxy, y del ángulo
que forma AB con el eje x. Observe que, para (= 0), la ecuación (d) produce E (
) = Ex, y que, para
( = 90°, da E(90°) = Ey.

El propósito principal de esta sección es expresar las componentes de la deformación asociadas con el marco de referencia x'y' de la figura IV en términos del ángulo


y de las componentes Ex, Ey y Yxy, asociadas con los ejes x y y se nota que la deformación normal Ex' a lo largo del eje x' esta dada por la ecuación (d). Se escribe esta ecuación en la forma alternativa

Ex'=(Ex + Ey)/2 + (Ex - Ey)/2 cos2


+Yxy/2 sen2
(e)

Remplazando


por
+ 90°, se obtiene la deformación normal a lo largo del eje y'.Como cos (2
+ 180°) = cos 2
y sen (2 + 180°) = -sen 2

Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 cos2


-Yxy/2 sen2
(f)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (e) y (f)

Ex'+ Ey'= Ex + Ey (g)

Puesto que Ez = Ez' = 0, se verifica, en el caso de la deformación plana, que la suma de las deformaciones normales asociadas con un elemento cúbico de material es independiente de la orientación del elemento.

Remplazando ahora


por
+ 45° en la ecuación (e), se obtiene una expresión para la deformación normal a lo largo de la bisectriz OB' del ángulo formado por los ejes x' y y'. Como cos (2 + 90°) = -sen 2
y sen (2 + 90°) = cos 2, se tiene

E( )B' =Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 sen2


+Yxy/2 cos2
(h)

Escribiendo la educación (d) con respecto a los ejes x' y y', se expresa; a deformación cortante Yx'y' en función de las deformaciones normales medidas a lo largo de los ejes x' y y', y de la bisectriz OB':

Yx'y'= 2E ( ) B’ -(Ex’ + Ey') (i)

Sustituyendo de las ecuaciones ( g) y (h) en la (i)

Yx'y'= -(Ex - Ey) sen2


+ Yxy cos2
(j)

Escribiendo las ecuaciones (e), (f) y (j) son las que definen la transformación de deformación plana bajo una rotación de ejes en el plano de deformación. Dividiendo la ecuación (j) por 2, se escribe esta ecuación en la forma alternativa

Yx'y'/2= - (Ex - Ey)/2 sen2


+ Yxy/2 cos2

MEDIDAS DE DEFORMACION. ROSETA DE DEFORMACION

Haciendo dos marcas A y B a través de una línea dibujada en la dirección deseada, y midiendo la longitud del segmento AB antes y después de aplicar la carga se puede determinar la deformación normal en cualquier dirección en la superficie de un elemento estructural o componente de máquina.

Si L es la longitud no deformada de AB y


su alargamiento, la deformación normal a lo largo de AB es:

Eab=


/ L

Ahora bien, existe un método mas conveniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformímetros eléctricos. Para medir la deformación de un material dado en la dirección AB, el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre paralelos a AB. Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en diámetro, haciendo que la resistencia eléctrica del medidor aumente. Midiendo la corriente que pasa a través de un medidor bien calibrado, la deformación EAR puede determinarse precisa y continuamente a medida que la carga aumenta.

Mecánica de materiales

Debe advertirse que las componentes Ex y Ey Yxy en un punto dado pueden obtenerse de la medida de deformación normal hecha a lo largo de tres líneas dibujadas por ese punto. Designando respectivamente por


1,
2 y
3 el ángulo que cada una de las líneas forma con el eje x, remplazando en la ecuación anterior, se tienen las tres ecuaciones:

E1= Excos^2


1 + Eysen^2
1 + Yxy sen
1 cos
1

E2= Excos^2


2 + Eysen^2
2 + Yxy sen
2 cos
2

E3= Excos^2


3 + Eysen^2
3 + Yxy sen
3 cos
3

Mecánica de materiales

La colocación de los deformímetros utilizados para medir las tres deformaciones normales El, E2 y E3 se conoce como Roseta de Deformación. La roseta usada para medir deformaciones normales a lo largo de los ejes x y y y su bisector se conoce como roseta de 45°. Otra roseta muy utilizada es la de 60°.



Una fuerza horizontal de magnitud P= 150 lb. se aplica al extremo D de la palanca ABD. Sabiendo que la porción AB de la palanca tiene un diámetro de 1.2 pulg., halle: a). los esfuerzos normal y cortante en un elemento situado en el punto H, con lados paralelos a los ejes x, y y, b). los planos principales y los esfuerzos principales en el punto H.

P= 150 lb. T= (150 lb)(18 pulg)= 2.7 kips. Pulg

Mx= (150 lb) (10 pulg)= 1.5 kips. Pulg.


x= 0
y= Mc/I= (1.5 kips.pulg)(0.6 pulg) / ¼
(0.6 pulg)4 = 8.84 ksi


xy= Tc/J= (2.7 kips.pulg)(0.6 pulg) / ½
(0.6 pulg)4 =

7.96 ksi.

Tan 2


p= 2
xy /
x -
y= 2(7.96) / 0-8.84 = -1.80

2


p= -61 º y 180º - 61º = 119º

p= -30.5º y 59.5º


máx, mín =
x +
y / 2 + [ (
x -
y / 2)´2 +
2 xy ] ½

-

0 + 8.84 / 2 +[ ( 0 - 8.84 / 2)´2 + (7.96)´2 ] ½ = +4.42 + 9.10

-

Máx. = +13.52 ksi y mín. = -4.68 ksi

2.- Determine los esfuerzos principales de la flecha de acero. La Flecha tiene un diámetro de 3 pulg. Las poleas pesan 250 lb. Cada una, y las tensiones en las bandas son opuestas. Las chumaceras de las extremos permiten rotación suficiente de modo que los apoyos extremos pueden considerarse como articulados. Desprecie el peso de la flecha.

= Mc/I

s = Tc/J

= Mc/I = (1425 x 12) (1.5)/ (


/64) (3)ª = 6690 lb/pulg²

s = Tc/J = (500 x 16) (1.5)/ (


/32) (3)ª = 1510 lb/pulg²

σ = (σx + σy) / 2 + / - Mecánica de materiales

σ = -6690 + 0 +/ - " (-6690 + 0)² + 1510²

σ ð ððððð ð ðððð ð ðððð lb/pulg²

σ ð -3345 - 3760 = -7015 lb/pulg²

3.- Ahora determine el esfuerzo cortante máximo de la flecha.

σ =Mecánica de materiales

= " (-3315 - 0)² + 1510² = 3670 lb/pulg²

BIBLIOGRAFIA

1).- Mecánica de Materiales (4ta. Edición)

2).- http://ingenieriarural.com/

3).- http://ibiguridpm.wordpress.com/

4).- http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr

5).- http://www2.ing.puc.cl/~icm2312/apuntes/circulo/principal.html

6).- http://www2.ing.puc.cl/~icm2312/apuntes/circulo/planos.html

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